Tronco de piramide
Todo el mundo conoce las pirámides egipcias, por lo que está bien representada la figura de la que se hablará. Sin embargo, las estructuras de piedra egipcias son sólo un caso especial de una enorme clase de pirámides.
El objeto geométrico considerado en el caso general es una base poligonal, cada uno de cuyos vértices está conectado a algún punto del espacio que no pertenece al plano base. Esta definición conduce a una figura formada por un n-gono y n triángulos.
Cualquier pirámide está formada por n+1 caras, 2*n aristas y n+1 vértices. Como la figura considerada es un poliedro perfecto, los números de los elementos marcados obedecen a la ecuación de Euler
2*n = (n+1) + (n+1) – 2
El polígono situado en la base da el nombre de la pirámide, por ejemplo, triangular, pentagonal, etc. Conjunto de pirámides con diferentes bases mostradas en la foto de abajo.
El punto en el que se conectan n triángulos de la figura se llama cima de la pirámide. Si se baja una perpendicular desde ella hasta la base y la interseca en el centro geométrico, entonces dicha figura se llamará línea recta. Si no se cumple esta condición, entonces existe una pirámide inclinada.
Una figura recta, cuya base está formada por un n-gono equilátero (equiangular), se llama regular.
Fórmula del volumen de la pirámide
Para calcular el volumen de la pirámide, utilizamos el cálculo integral. Para ello, dividimos la figura por planos secantes paralelos a la base en un número infinito de capas finas. La figura siguiente muestra una pirámide cuadrangular de altura h y longitud de lado L, en la que el cuadrilátero marca secciones de capas finas.
El área de cada una de estas capas puede calcularse mediante la fórmula
A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2
Aquí A 0 es el área de la base, z es el valor de la coordenada vertical. Se puede ver que si z = 0, entonces la fórmula da el valor A 0 .
Para obtener la fórmula del volumen de la pirámide, se debe calcular la integral sobre toda la altura de la figura, es decir
V = ∫ h 0 (A(z)*dz)
Sustituyendo la dependencia A(z) y calculando la antiderivada, llegamos a la expresión
V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h
Hemos obtenido la fórmula del volumen de una pirámide. Para hallar el valor de V, basta con multiplicar la altura de la figura por el área de la base, y luego dividir el resultado por tres.
Obsérvese que la expresión resultante es válida para calcular el volumen de una pirámide de cualquier tipo. Es decir, puede estar inclinada y su base puede ser un n-gon arbitrario.
y su volumen
Recibido en el párrafo anterior fórmula general para el volumen se puede especificar en el caso de una pirámide con base derecha. El área de dicha base se calcula mediante la siguiente fórmula
A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n)
Aquí L es la longitud del lado de un polígono regular con n vértices. El símbolo pi es el número pi.
Sustituyendo la expresión de A 0 en la fórmula general, obtenemos el volumen de una pirámide regular:
V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n)
Por ejemplo, para una pirámide triangular, esta fórmula conduce a la siguiente expresión
V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h
Para la pirámide cuadrangular correcta la fórmula del volumen toma la forma:
V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h
Pirámide truncada
Supongamos que hemos tomado una pirámide arbitraria y hemos cortado una parte de su superficie lateral que contiene el vértice. La figura que queda se llama pirámide truncada. Ya está formada por dos bases n-gonales y n trapecios que las unen. Si el plano de corte fuera paralelo a la base de la figura, entonces se forma una pirámide truncada con bases similares paralelas. Es decir, las longitudes de los lados de una de ellas se pueden obtener multiplicando las longitudes de la otra por algún coeficiente k.
La figura anterior muestra una regular truncada. Se puede observar que su base superior, al igual que la inferior, está formada por un hexágono regular.
La fórmula que se puede derivar utilizando un cálculo integral similar al anterior es
V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1))
Donde A 0 y A 1 son las áreas de las bases inferior (grande) y superior (pequeña), respectivamente. La variable h denota la altura de la pirámide truncada.
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