Teorema de pappus
El primer teorema de Pappus nos habla de la superficie de revolución que obtenemos cuando giramos una curva plana alrededor de un eje externo a ella pero en el mismo plano. Nos dice que la superficie (A) de esta superficie de revolución es igual al producto de la longitud de arco de la curva generadora (s) por la distancia d recorrida por el centroide geométrico de la curva. Es decir:
A = s * d
Un toro (forma de donut) con un radio menor de r y un radio mayor de R tendrá una curva generadora de 2πr y la distancia recorrida por el centroide geométrico de la curva será de 2πR. Por tanto, la superficie será
A = (2 π r)(2 π R) = 4 π2 r R
El segundo teorema de Pappus
El segundo teorema de Pappus es muy similar al primero; nos dice que el volumen de un sólido de revolución que se genera al girar una figura plana alrededor de un eje externo es igual al área de la figura plana (llamada A) por la distancia d que recorre el centroide geométrico de F.
V = a d
Esto se parece casi a la fórmula del área de la superficie, arriba. Se parece tanto que podrías empezar a preguntarte por qué las áreas superficiales y los volúmenes no son siempre iguales. La razón por la que ambos dan resultados diferentes es que el centroide de una figura plana es (normalmente) diferente del centroide de su curva límite. El área de F tampoco es la misma que la longitud de arco.
Volviendo a nuestro ejemplo del toro (donut) con radio menor r y radio mayor R, el área A será πr2 y la distancia al centroide de F será 2πR. Así que podemos calcular el volumen con el segundo teorema de Pappus
V = (π r2) (2 π R) = 2 π2 Rr2
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