Función periódica
Se dice que una función y= f(x) es una función periódica si existe un número real positivo P tal que f(x + P) = f(x), para todo x pertenece a los números reales. El menor valor del número real positivo P se llama período fundamental de una función. Este periodo fundamental de una función se llama también periodo de la función, en el que la función se repite.
f(x + P) = f(x)
La función seno es una función periódica con un período de 2π. Sin(2π + x) = Sinx.
Períodos de algunas funciones periódicas importantes
El periodo de una función nos ayuda a conocer el intervalo tras el cual se repite el rango de la función periódica. El dominio de una función periódica f(x) incluye de los valores de números reales de x, el rango de una función periódica es un conjunto limitado de valores dentro de un intervalo. La longitud de este intervalo que se repite, o el intervalo tras el cual el rango de la función se repite, se llama período de la función periódica.
El periodo de algunas funciones periódicas importantes es el siguiente.
- El periodo de Sinx y Cosx es 2π.
- El período de Tanx y Cotx es π.
- El periodo de Secx y Cosecx es 2π.
Propiedades de las funciones periódicas
Las siguientes propiedades son útiles para una comprensión más profunda de los conceptos de una función periódica.
- La gráfica de una función periódica es simétrica y se repite a lo largo del eje horizontal.
- El dominio de la función periódica incluye todos los valores de los números reales, y el rango de la función periódica está definido para un intervalo fijo.
- El período de una función periódica, contra el que se repite el período es igual a la constante a lo largo de todo el rango de la función.
- Si f(x) es una función periódica con un período P, entonces 1/f(x) será también una función periódica con el mismo período fundamental P.
- Si f(x) es una función periódica con un período de P, entonces f(ax + b) es también una función periódica con un período de P/|a|.
- Si f(x) es una función periódica con un periodo de P, entonces af(x) + b es también una función periódica con un periodo de P.
Algunas funciones periódicas importantes
A continuación se presentan algunas de las funciones periódicas más avanzadas, que pueden explorarse más a fondo.
- Fórmula de Euler: La fórmula de números complejos eix = Coskx + iSinkx está formada por las funciones coseno y seno, que son funciones periódicas. Aquí estas dos funciones son periódicas, y la fórmula de euler representa una función periódica y tiene un periodo de 2π/k.
- Funciones elípticas de Jaccobi: La gráfica de estas funciones tiene forma elíptica, en lugar de una circunferencia, que es lo que suele verse para las funciones trigonométricas. Estas formas elípticas surgen debido a la participación de dos variables juntas, como la amplitud y la velocidad de un cuerpo en movimiento, o la temperatura y la viscosidad de la sustancia. Estas funciones se utilizan habitualmente en la descripción del movimiento de un péndulo.
- Serie de Fourier: La serie de Fourier es una superposición de varias series de funciones de onda periódicas para formar una función periódica compleja. Suele estar compuesta por funciones seno y coseno, y la suma de estas funciones de onda se realiza asignando a estas series sus respectivas componentes de peso. La serie de Fourier tiene aplicaciones en la representación de ondas térmicas, el análisis de vibraciones, la mecánica cuántica, la ingeniería eléctrica, el procesamiento de señales y el procesamiento de imágenes.
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