Regla de la cadena formula
Esta regla de la cadena también se conoce como la regla de fuera-dentro o la regla de la función compuesta o la regla de la función de una función. Se utiliza sólo para encontrar las derivadas de las funciones compuestas.
Teorema de la regla de la cadena: Sea f una función de valor real que es un compuesto de dos funciones g y h. es decir, f = g o h. Supongamos que u = h(x), donde du/dx y dg/du existen, entonces esto podría expresarse como
cambio en f / cambio en x = cambio en g / cambio en u × cambio en u / cambio en x.
Esto se da en notación de Leibniz en forma de ecuación como df/dx = dg/du .du/dx.
Pasos de la regla de la cadena
- Paso 1: Identificar la regla de la cadena: La función debe ser una función compuesta, lo que significa que una función está anidada sobre la otra.
- Paso 2: Identifique la función interior y la función exterior.
- Paso 3: Encuentre la derivada de la función externa, dejando la función interna.
- Paso 4: Encuentre la derivada de la función interna.
- Paso 5: Multiplica los resultados del paso 4 y del paso 5.
- Paso 6: Simplificar la derivada de la regla de la cadena.
Por ejemplo: Consideremos una función: g(x) = ln(sen x)
- g es una función compuesta. Entonces, aplique la regla de la cadena.
- sen x es la función interna y ln(x) es la función externa.
- La derivada de la función exterior es 1/sin x.
- La derivada de la función interna es cos x.
- Finalmente g'(x) = derivada de la función exterior, dejando solo la interior × la derivada de la función interior = 1/sin x × cos x
- Al simplificar obtenemos, cos x/sin x = cot x
Regla de la doble cadena
Puede haber funciones anidadas una sobre otra, donde las funciones dependen de más de una variable. La cadena de derivadas menores se multiplica para obtener la derivada global. Sean 3 funciones: u, v, w. Una función f es un compuesto de u, v y w. La regla de la cadena se extiende aquí. Si una función es una composición de 3 funciones, aplicamos la regla de la cadena dos veces. Cuando f = (u o v) o w = df/dx = df/du. du/dv. dv/dw. dw/dx
Ejemplo 1: y = (1+ cos 2x)2
y’ = 2( 1+ cos 2x) . (-sin 2x). (2)
= – 4(1+ cos 2x) . sin2x
Ejemplo 2: y = sin (cos (x2))
y’ = cos(cos (x2)). -sin (x2)). 2x
= -2x sin (x2) cos (cos x2)
Nota: No necesitamos recordar la fórmula de la regla de la cadena. En su lugar, podemos simplemente aplicar las fórmulas de las derivadas (que están en términos de x) y luego multiplicar el resultado por la derivada de la expresión que está sustituyendo a x.
Por ejemplo, d/dx ((x2 + 1)3) = 3 (x2 + 1)2 – d/dx (x2 + 1) = 3 (x2 + 1)2 – 2x = 6x (x2 + 1)2.
Aplicaciones de la regla de la cadena
Esta regla de la cadena tiene amplias aplicaciones en los campos de la física, la química y la ingeniería. Aplicamos la regla de la cadena
- Para hallar la tasa de cambio temporal de la presión,
- Para calcular la tasa de cambio de la distancia entre dos objetos en movimiento,
- Para encontrar la posición de un objeto que se mueve a la derecha y a la izquierda en un intervalo determinado,
- Determinar si una función es creciente o decreciente,
- Para encontrar la tasa de cambio de la velocidad molecular media
Apliquemos la regla de la cadena para encontrar la ecuación de la recta tangente a la función dada y = (5 x4 – 2)3 en x = 1.
Sabemos que la derivada de la función da la pendiente de la recta en el punto dado.
y’ = 3 (5 x4 – 2) 2 × 20 x3
= 60 x3 (5 x4 – 2) 2
y’ en x =1 da 60(3)2 = 540
Tenemos que evaluar la función y la derivada en el punto dado
y = ((5 (1)4 – 2)3 = 33 = 27
Por tanto, la ecuación de la recta tangente en la forma pendiente-intercepto es y = mx+ b ⇒ 27 = 540x + b
Necesitamos encontrar la ecuación de la recta tangente.
Por tanto, sustituyendo (1,27) en la ecuación de la recta tangente, y = 540x + b, obtenemos
27 = 540(1) + b ⇒ b = -513
Así, la ecuación de la recta tangente a la función dada y = (5 x4 – 2)3 aplicando la fórmula de la regla de la cadena es y = 540x – 513
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