Ley del paralelogramo
La ley del paralelogramo establece que la suma de los cuadrados de la longitud de los cuatro lados de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de la longitud de las dos diagonales. En la geometría euclidiana, es necesario que el paralelogramo tenga lados opuestos iguales.
Si ABCD es un paralelogramo, entonces AB = DC y AD = BC. Entonces, de acuerdo con la definición de la ley del paralelogramo, se establece como
2(AB)2 + 2 (BC)2 = (AC)2 + (BD)2.
En el caso de que el paralelogramo sea un rectángulo, entonces la ley se establece como
2(AB)2 + 2 (BC)2 = 2(AC)2
Esto se debe a que en un rectángulo, las dos diagonales son de igual longitud, es decir, (AC = BD)
Si dos vectores actúan simultáneamente en un punto, entonces puede ser representado tanto en magnitud como en dirección por los lados adyacentes trazados desde un punto. Por lo tanto, el vector resultante está completamente representado tanto en dirección como en magnitud por la diagonal del paralelogramo que pasa por el punto.
Ley del paralelogramo de la adición de vectores Procedimiento
Los pasos para la ley del paralelogramo de la adición de vectores son:
- Dibujar un vector utilizando una escala adecuada en la dirección del vector
- Dibuja el segundo vector utilizando la misma escala desde la cola del primer vector
- Trata estos vectores como los lados adyacentes y completa el paralelogramo
- Ahora, la diagonal representa el vector resultante tanto en magnitud como en dirección
Prueba de la ley del paralelogramo
Sea AD=BC = x, AB = DC = y, y ∠ BAD = α
Utilizando la ley de los cosenos en el triángulo BAD, obtenemos
x2 + y2 – 2xy cos(α) = BD2 —(1)
Sabemos que en un paralelogramo, los ángulos adyacentes son complementarios. Así que
∠ADC = 180 – α
Ahora, vuelve a utilizar la ley de los cosenos en el triángulo ADC
x2 + y2 – 2xy cos(180 – α) = AC2 —(2)
Aplica la identidad trigonométrica cos(180 – x) = – cos x en (2)
x2 + y2 + 2xy cos(α) = AC2
Ahora, la suma de los cuadrados de las diagonales (BD2 + AC2) se representan como
BD2 + AC2 = x2 + y2 – 2xycos(α) + x2 + y2 + 2xy cos(α)
Simplificando la expresión anterior, obtenemos;
BD2 + AC2 =2×2 + 2 y2 —(3)
La ecuación anterior se representa como:
BD2 + AC2 = 2(AB)2 + 2(BC)2
Por lo tanto, se demuestra la ley del paralelogramo.
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