Funciones inyectivas

Una función f de A a B es una asignación de exactamente un elemento de B a cada elemento de A (A y B son conjuntos no vacíos). A se llama dominio de f y B se llama codominio de f. Si b es el único elemento de B asignado por la función f al elemento a de A, se escribe como f(a) = b.

Funciones inyectivas

Si tanto f como g son funciones inyectivas, entonces la composición de ambas es inyectiva. La imagen siguiente muestra cómo funciona esto; si cada miembro del dominio inicial X se mapea a un miembro distinto del primer rango Y, y cada miembro distinto de Y se mapea a un miembro distinto de Z cada miembro distinto de X se está mapeando a un miembro distinto de Z, lo que se muestra en el siguiente diagrama de mapeo.

Si una función f mapea desde un dominio X a un rango Y, Y tiene al menos tantos elementos como X.

Funciones inyectivas y biyectivas

Una función inyectiva puede tener o no una correspondencia uno a uno entre todos los miembros de su rango y dominio. Si la tiene, se llama función biyectiva. Las dos imágenes de abajo representan funciones inyectivas, pero sólo la imagen de la derecha es biyectiva. La imagen de la izquierda tiene un miembro en el conjunto Y que no se utiliza (punto C), por lo que no es inyectiva.

Función suryectiva

Una función suryectiva, también llamada suryección o función onto, es una función en la que cada punto del rango es mapeado desde un punto del dominio. En otras palabras, la función F mapea X sobre Y (Kubrusly, 2001).

Proyección vs. Inyección

A veces se puede entender mejor la proyección comparándola con la inyección:

Una función inyectiva envía elementos diferentes de un conjunto a otros elementos diferentes del otro conjunto.
Con la eyección, cada elemento de Y se asigna a un elemento de X.

Una función suryectiva puede ser o no inyectiva; son posibles muchas combinaciones, como muestra la siguiente imagen:.

«A» es inyectiva (uno a uno). Diferentes elementos del primer conjunto son enviados a diferentes elementos del segundo conjunto. A» no es suryectiva porque no todos los elementos de Y están incluidos en el mapeo.
«B» es suryectiva, porque cada elemento de Y se asigna a un elemento de X. Sin embargo, estas asignaciones no son únicas; un punto de Y se asigna a dos puntos diferentes de X. Por lo tanto, B no es inyectiva.
«C es suryectiva e inyectiva. Envía diferentes elementos del conjunto X a diferentes elementos del conjunto Y (inyección) y cada elemento de Y se asigna a un elemento de X (suryección).
«D» no es ninguna de las dos cosas. Un elemento de Y no está incluido, por lo que no es suryectiva. Y un punto de Y ha sido asignado a dos puntos de X, por lo que no es suryectiva.
Si una función es a la vez suryectiva e inyectiva, es decir, onto y one-to-one, se llama función biyectiva. Una función biyectiva es una correspondencia uno a uno, que no debe confundirse con las funciones uno a uno.

Vídeos de Funciones inyectivas

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