Función trigonométrica inversa
Las funciones trigonométricas inversas, en cambio, se denominan sin-1x, cos-1x, cot-1 x, tan-1 x, cosec-1 x y sec-1 x.
Las funciones trigonométricas inversas tienen todas las fórmulas de las funciones trigonométricas básicas, que incluyen la suma de funciones, el doble y el triple de una función.
Las funciones trigonométricas inversas son las funciones inversas relacionadas con las funciones trigonométricas básicas. La función trigonométrica básica de sen θ = x, puede cambiarse a sen-1 x = θ. Aquí, x puede tener valores en números enteros, decimales, fracciones o exponentes. Para θ = 30° tenemos θ = sin-1 (1/2), donde θ está entre 0° y 90°. Todas las fórmulas trigonométricas pueden transformarse en fórmulas de funciones trigonométricas inversas.
Las funciones trigonométricas inversas también se conocen como funciones antitrigonométricas / funciones de arco / funciones ciclométricas. Las funciones trigonométricas inversas son las funciones inversas de las funciones trigonométricas básicas que son las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Las funciones trigonométricas inversas se escriben con prefijo de arco como arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccsc(x), arcsec(x), arccot(x). Las funciones trigonométricas inversas se utilizan para encontrar el ángulo de un triángulo a partir de cualquiera de las funciones trigonométricas. Se utiliza en diversos campos como la geometría, la ingeniería, la física, etc.
Consideremos la función y = f(x), y x = g(y) entonces la función inversa puede escribirse como g = f-1,
Esto significa que si y = f(x), entonces x = f-1(y).
Un ejemplo de función trigonométrica inversa es x = sen-1y.
Fórmulas trigonométricas inversas
La lista de fórmulas trigonométricas inversas se ha agrupado en las siguientes fórmulas. Estas fórmulas son útiles para convertir una función en otra, para encontrar los valores de los ángulos principales de las funciones, y para realizar numerosas operaciones aritméticas a través de estas funciones trigonométricas inversas. Además, todas las fórmulas de funciones trigonométricas básicas se han transformado en fórmulas de funciones trigonométricas inversas y se clasifican aquí en los siguientes cuatro conjuntos de fórmulas.
- Valores arbitrarios
- Funciones recíprocas y complementarias
- Suma y diferencia de funciones
- Doble y triple de una función
Fórmulas de funciones trigonométricas inversas para valores arbitrarios
La fórmula de la función trigonométrica inversa para valores arbitrarios es aplicable a las seis funciones trigonométricas. Para las funciones trigonométricas inversas de seno, tangente, cosecante, los negativos de los valores se traducen como los negativos de la función. Y para las funciones de cosecante, secante, cotangente, los negativos del dominio se traducen como la resta de la función del valor π.
- sin-1(-x) = -sin-1x,x ∈ [-1,1]
- tan-1(-x) = -tan-1x, x ∈ R
- cosec-1(-x) = -cosec-1x, x ∈ R – (-1,1)
- cos-1(-x) = π – cos-1x, x ∈ [-1,1]
- sec-1(-x) = π – sec-1x, x ∈ R – (-1,1)
- cot-1(-x) = π – cot-1x, x ∈ R
Fórmulas de la función trigonométrica inversa para funciones recíprocas
La función trigonométrica inversa para valores recíprocos de x convierte la función trigonométrica inversa dada en su función recíproca. Esto se deduce de las funciones trigonométricas en las que el seno y la cosecante son recíprocos entre sí, la tangente y la cotangente son recíprocas entre sí, y el cos y la secante son recíprocos entre sí.
La fórmula trigonométrica inversa del seno inverso, el coseno inverso y la tangente inversa también se puede expresar de las siguientes formas
- sin-1x = cosec-11/x, x ∈ R – (-1,1)
- cos-1x = sec-11/x, x ∈ R – (-1,1)
- tan-1x = cot-11/x, x > 0
- tan-1x = – π + cot-1 x, x < 0
Fórmulas de funciones trigonométricas inversas para funciones complementarias
La suma de las funciones trigonométricas inversas complementarias da como resultado un ángulo recto. Para los mismos valores de x, la suma de las funciones trigonométricas inversas complementarias es igual a un ángulo recto. Por tanto, las funciones complementarias seno-coseno, tangente-cotangente, secante-cosecante, suman π/2. Las funciones complementarias seno-coseno, tangente-cotangente y secante-cosecante pueden interpretarse como
- sin-1x + cos-1x = π/2, x ∈ [-1,1]
- tan-1x + cot-1x = π/2, x ∈ R
- sec-1x + cosec-1x = π/2, x ∈ R – [-1,1]
Fórmulas de suma y diferencia de funciones trigonométricas inversas
La suma y la diferencia de dos funciones trigonométricas inversas pueden combinarse para formar una única función inversa, según el siguiente conjunto de fórmulas. La suma y la diferencia de las funciones trigonométricas inversas se han derivado de las fórmulas de las funciones trigonométricas sin(A + B), cos(A + B), tan(A + B). Estas fórmulas de las funciones trigonométricas inversas se pueden utilizar para derivar posteriormente las fórmulas de las funciones dobles y triples.
- sin-1x + sin-1y = sin-1(x.√(1 – y2) + y√(1 – x2))
- sin-1x – sin-1y = sin-1(x.√(1 – y2) – y√(1 – x2))
- cos-1x + cos-1y = cos-1(xy – √(1 – x2).√(1 – y2))
- cos-1x – cos-1y = cos-1(xy + √(1 – x2).√(1 – y2))
- tan-1x + tan-1y = tan-1(x + y)/(1 – xy), si xy < 1
- tan-1x + tan-1y = tan-1(x – y)/(1 + xy), si xy > – 1
Fórmulas del doble de una función trigonométrica inversa
El doble de una función trigonométrica inversa puede resolverse para formar una única función trigonométrica según el siguiente conjunto de fórmulas.
- 2sin-1x = sin-1(2x.√(1 – x2))
- 2cos-1x = cos-1(2×2 – 1)
- 2tan-1x = tan-1(2x/1 – x2)
Fórmulas del triple de la función trigonométrica inversa
El triple de las funciones trigonométricas inversas se puede resolver para formar una sola función trigonométrica inversa según el siguiente conjunto de fórmulas.
- 3sin-1x = sin-1(3x – 4×3)
- 3cos-1x = cos-1(4×3 – 3x)
- 3tan-1x = tan-1(3x – x3/1 – 3×2)
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