Formula producto escalar
El producto escalar es la multiplicación de los componentes correspondientes de dos o más vectores. Como su nombre indica, un producto escalar da como resultado una cantidad escalar, es decir, un número real. El producto escalar también se puede calcular tomando el producto de la magnitud de los vectores y el coseno del ángulo entre ellos. Veamos ahora la fórmula del producto escalar de dos y tres vectores.
El producto escalar de dos vectores viene dado por el producto del módulo del primer vector, el módulo del segundo vector y el coseno del ángulo entre ellos. En otras palabras, el producto escalar es el producto de la magnitud del primer vector y la proyección del primer vector sobre el segundo. La fórmula del producto escalar para dos vectores a y b es
a.b = |a| |b| cosθ
Interpretación geométrica del producto escalar
Ya que conocemos la fórmula y el significado del producto escalar, vamos a entender la interpretación geométrica del producto escalar de dos vectores. Consideremos la figura que se muestra a continuación:
En la figura anterior, OA representa la longitud del vector a, OA’ representa la longitud del vector b y θ es el ángulo entre ellos. Como podemos ver en la figura, OA’ es la proyección del vector a sobre el vector b. Sabemos que en un triángulo rectángulo, el coseno del ángulo considerado es igual a la razón de la base y la hipotenusa. Por lo tanto, tenemos
cos θ = OA’/OA = OA’/|a| ⇒ |OA’| = |a|.cos θ
Aplicaciones del producto escalar
El producto escalar tiene muchas aplicaciones en la teoría vectorial, algunas de las cuales son:
- Proyección de un Vector: El producto escalar se utiliza para determinar la proyección de un vector sobre otro vector. La proyección de un vector a sobre el vector b viene dada por a.b/|b|. Del mismo modo, la proyección del vector b sobre el vector a viene dada por a.b/|a|.
- Producto triple escalar: El producto escalar se utiliza en el cálculo del triple producto escalar de tres vectores. La fórmula del triple producto escalar es a.(b × c) = b.(c × a) = c.(a × b)
- Ángulo entre dos vectores: El producto escalar se utiliza para determinar el ángulo entre dos vectores mediante la fórmula cos θ = (a.b)/(|a| |b|).
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