Aplicaciones de las secciones conicas
Dos cónicas muy conocidas son el círculo y la elipse. Surgen cuando la intersección del cono con el plano es una curva cerrada. El círculo es un caso especial de la elipse en el que el plano es perpendicular al eje del cono. Si el plano es paralelo a una línea generatriz del cono, la cónica se llama parábola. Por último, si la intersección es una curva abierta y el plano no es paralelo a las líneas generadoras del cono, la figura es una hipérbola. (En este caso, el plano intersectará ambas mitades del cono, produciendo dos curvas separadas, aunque a menudo se ignora una de ellas).
Las secciones cónicas se observan en las trayectorias de los cuerpos celestes. Cuando dos objetos masivos interactúan según la ley de gravitación universal de Newton, sus órbitas son secciones cónicas si se considera que su centro de masa común está en reposo. Si están unidos, ambos trazarán elipses; si se separan, ambos seguirán parábolas o hipérbolas.
El estudio de las secciones cónicas es importante no sólo para las matemáticas, la física y la astronomía, sino también para diversas aplicaciones de ingeniería. La suavidad de las secciones cónicas es una propiedad importante para aplicaciones como la aerodinámica, donde se necesita una superficie lisa para garantizar el flujo laminar y evitar las turbulencias.
Hay una serie de casos degenerados, en los que el plano pasa por el vértice del cono. La intersección en estos casos puede ser una línea recta (cuando el plano es tangente a la superficie del cono); un punto (cuando el ángulo entre el plano y el eje del cono es mayor que éste); o un par de líneas que se cruzan (cuando el ángulo es menor). También existe una degeneración en la que el cono es un cilindro (el vértice está en el infinito), que puede producir dos líneas paralelas.
Excentricidad
Elipse (e=1/2), parábola (e=1) e hipérbola (e=2) con foco F y directriz fijos.
Las cuatro condiciones definitorias anteriores pueden combinarse en una sola condición que depende de un punto fijo F (el foco), una recta L (la directriz) que no contiene a F y un número real no negativo e (la excentricidad). La sección cónica correspondiente está formada por todos los puntos cuya distancia a F es igual a e por su distancia a L. Para 0 < e < 1 se obtiene una elipse; para e = 1, una parábola; y para e > 1, una hipérbola.
Para una elipse y una hipérbola, se pueden tomar dos combinaciones de foco-directriz, cada una de las cuales da la misma elipse o hipérbola completa. La distancia del centro a la directriz es e, donde a es el semieje mayor de la elipse, o la distancia del centro a las cimas de la hipérbola. La distancia del centro a un foco es e.
En el caso de una circunferencia, la excentricidad e = 0, y se puede imaginar que la directriz está infinitamente alejada del centro. Sin embargo, la afirmación de que el círculo está formado por todos los puntos cuya distancia es e veces la distancia a L no es útil, porque da cero por infinito.
La excentricidad de una sección cónica es, por tanto, una medida de lo mucho que se desvía de ser circular.
Aplicaciones
Las secciones cónicas son importantes en astronomía. Las órbitas de dos objetos masivos que interactúan según la ley de gravitación universal de Newton son secciones cónicas si se considera que su centro de masa común está en reposo. Si están unidos, ambos trazarán elipses; si se separan, ambos seguirán parábolas o hipérbolas.
Las secciones cónicas son siempre «suaves», es decir, no contienen puntos de inflexión. Esto es importante para muchas aplicaciones, como la aerodinámica, donde se requiere una superficie lisa para garantizar el flujo laminar y evitar las turbulencias.
En geometría proyectiva, las secciones cónicas en el plano proyectivo son equivalentes entre sí hasta las transformaciones proyectivas.
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