Circuncentro de un triangulo
P(X, Y) = [(x1 sin 2A + x2 sin 2B + x3 sin 2C)/ (sin 2A + sin 2B + sin 2C), (y1 sin 2A + y2 sin 2B + y3 sin 2C)/ (sin 2A + sin 2B + sin 2C)].
Aquí,
A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) son los vértices del triángulo y A, B, C son sus respectivos ángulos.
Método para calcular el circuncentro de un triángulo
Los pasos para encontrar el circuncentro de un triángulo son
- Calcular el punto medio de las coordenadas dadas, es decir, los puntos medios de AB, AC y BC
- Calcular la pendiente de la recta determinada
- Utilizando el punto medio y la pendiente, hallar la ecuación de la recta (y-y1) = m (x-x1)
- Encuentra la ecuación de la otra recta de forma similar
- Resuelve las ecuaciones de dos bisectrices averiguando el punto de intersección
- El punto de intersección calculado será el circuncentro del triángulo dado
Hallar el circuncentro mediante ecuaciones lineales
El circuncentro también se puede calcular formando ecuaciones lineales utilizando la fórmula de la distancia. Tomemos (X, Y) como coordenadas del circuncentro. Según las propiedades del circuncentro, la distancia de (X, Y) a cada vértice de un triángulo sería la misma.
Supongamos que D1 es la distancia entre el vértice (x1, y1) y el circuncentro (X, Y), entonces la fórmula viene dada por,
D1= √[(X-x1)2+(Y-y1)2]
D2= √[(X-x2)2+(Y-y2)2]
D3= √[(X-x3)2+(Y-y3)2]
Aprende más: Distancia entre dos puntos
Ahora, como D1=D2 y D2=D3, obtenemos
(X-x1)2 + (Y-y1)2 = (X-x2)2 + (Y-y2)2
De aquí se obtienen dos ecuaciones lineales. Resolviendo las ecuaciones lineales mediante el método de sustitución o eliminación, se pueden obtener las coordenadas del circuncentro.
Propiedades del circuncentro
Algunas de las propiedades del circuncentro de un triángulo son las siguientes:
- El circuncentro es el centro de la circunferencia
- Todos los vértices de un triángulo son equidistantes del circuncentro
- En un triángulo acutángulo, el circuncentro está dentro del triángulo
- En un triángulo obtuso, se encuentra fuera del triángulo
- El circuncentro se encuentra en el punto medio del lado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo
¿Cómo se construye el circuncentro de un triángulo?
El circuncentro de cualquier triángulo se puede construir trazando la mediatriz de cualquiera de los dos lados de ese triángulo. Los pasos para construir el circuncentro son
- Paso 1: Dibujar la mediatriz de dos lados cualesquiera del triángulo dado.
- Paso 2: Con la ayuda de una regla, extiende las bisectrices perpendiculares hasta que se crucen entre sí.
- Paso 3: Marcar el punto de intersección como P, que será el circuncentro del triángulo. Hay que tener en cuenta que, incluso la bisectriz del tercer lado también se cruzará en P.
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