Derivada de una raiz
La derivada de la raíz x viene dada por, d(√x)/dx = (1/2) x-1/2 o 1/(2√x). Como sabemos, la derivada de una función en matemáticas es el proceso de encontrar la tasa de cambio de una función con respecto a una variable. La derivada de la raíz x se puede determinar utilizando la regla de la potencia de la diferenciación y el primer principio de las derivadas. También podemos utilizar la derivada de la raíz x junto con el método de la regla de la cadena para evaluar las derivadas de las funciones de raíz cuadrada. En la siguiente sección, vamos a entender la fórmula de esta derivada.
Fórmula de la derivada de la raíz x
La fórmula de la derivada de la raíz x viene dada por d(√x)/dx (O) (√x)’ = (1/2) x-1/2 (O) 1/(2√x), es decir
Podemos evaluar la fórmula anterior para la derivada de la raíz x utilizando los siguientes métodos:
Primer principio de las derivadas
Ahora que sabemos que la derivada de la raíz x es igual a (1/2) x-1/2, lo demostraremos utilizando el primer principio de diferenciación. Para una función f(x), su derivada según la definición de límites, es decir, el primer principio de las derivadas, viene dada por la fórmula f'(x) = lim h→0 [f(x + h) – f(x)] / h. Además, utilizaremos el método de racionalización para simplificar la expresión. Por tanto, tenemos
d(√x)/dx = lim h→0 [√(x + h) – √x] / h
Para simplificar la expresión, multiplica el numerador y el denominador de la expresión anterior por √(x + h) + √x.
lim h→0 [√(x + h) – √x] / h = lim h→0 { [√(x + h) – √x] × [√(x + h) + √x ] } / { h × [√(x + h) + √x ] }
= lim h→0 [(x + h) – x] / { h × [√(x + h) + √x ] } — (Utilizando la fórmula (a+b) (a-b) = a2 – b2)
= lim h→0 [x + h – x] / { h × [√(x + h) + √x ] }
= lim h→0 h / { h × [√(x + h) + √x ] }
= lim h→0 1 / [√(x + h) + √x ]
= 1/(√x + √x)
= 1/(2√x)
Por tanto, hemos demostrado la fórmula de la derivada de la raíz x.
Derivada de la raíz x utilizando la regla de la potencia
Ahora, la fórmula de la regla de la potencia de las derivadas viene dada por, d(xn)/dx = nxn-1, donde n ≠ -1. La raíz x es una función exponencial con x como base y 1/2 como potencia. Ahora, si sustituimos n = 1/2 en la fórmula d(xn)/dx = nxn-1, donde n ≠ -1, entonces tenemos
d(x1/2)/dx = (1/2) x(1/2) – 1
= (1/2) x-1/2
= 1/(2√x)
Por tanto, hemos demostrado que la derivada de la raíz x es igual a 1/(2√x).
Aplicación de la derivada de la raíz x
Una de las aplicaciones importantes de la derivada de la raíz x es encontrar la derivada de funciones de raíz cuadrada. Podemos aplicar el método de la regla de la cadena de la diferenciación para encontrar las derivadas de la función raíz cuadrada junto con el uso de la derivada de la raíz x. Vamos a resolver un ejemplo para entender su aplicación.
Ejemplo: Encontrar la derivada de √(2x + 5).
Solución: Para encontrar la derivada de √(2x + 5), utilizaremos el método de la regla de la cadena y usaremos la fórmula de la derivada de la raíz x.
d(√(2x + 5))/dx = d(√(2x + 5))/d(2x + 5) × d(2x + 5)/dx
= 1/(2√(2x + 5)) × 2
= 2/(2√(2x + 5))
= 1/√(2x + 5)
Notas importantes sobre la derivada de la raíz x
- La derivada de la raíz x viene dada por d(√x)/dx = (1/2) x-1/2 o 1/(2√x).
- La raíz x dada por √x es una función exponencial con x como variable y base como 1/2.
- Podemos calcular la derivada de la raíz x utilizando la regla de la potencia y el primer principio de las derivadas.
Vídeos de Derivada de una raiz
Contenido