Formulas derivadas
Una derivada parcial es una derivada en la que mantenemos constantes algunas variables. Como en este ejemplo:
Una función para una superficie que depende de dos variables x e y
Cuando encontramos la pendiente en la dirección x (manteniendo y fija) hemos encontrado una derivada parcial.
O podemos encontrar la pendiente en la dirección de y (manteniendo x fija).
Si sabes cómo tomar una derivada, entonces puedes tomar derivadas parciales. Supongamos que f es una función multivariable, es decir, una función que tiene más de una variable independiente, x, y, z, etc. La derivada parcial con respecto a una variable dada, digamos x, se define como tomar la derivada de f como si fuera una función de x mientras se consideran las otras variables, y, z, etc., como constantes. Por ejemplo, si f es una función de x, y y z, entonces hay tres derivadas parciales diferentes para f: una con respecto a x, otra con respecto a y y otra con respecto a z.
Ejemplo de formulas de derivadas
Vamos a encontrar las derivadas parciales de z = f(x, y) = x^2 sen(y). Esta función tiene dos variables independientes, x e y, por lo que calcularemos dos derivadas parciales, una con respecto a cada variable.
La derivada parcial de f respecto a x es 2x sin(y). Como estamos tratando y como una constante, sin(y) también cuenta como una constante. Por tanto, lo único que hay que hacer es tomar la derivada del factor x^2 (que es de donde sale ese 2x).
La derivada parcial de f respecto a y es x^2 cos(y). Esta vez, tratamos x (y por tanto también x^2) como una constante, y simplemente tomamos la derivada de sen(y).
Interpretación como tasa de cambio
La derivada f ‘(x) de una función de una sola variable y = f(x) mide la tasa de cambio de los valores de y al aumentar x. Cuanto más aumenta f en un punto dado x = a, mayor es el valor de f ‘(a).
¿Qué ocurre cuando hay más de una variable? Veamos el caso de dos variables, z = f(x, y). La derivada parcial de f con respecto a x mide la velocidad a la que cambian los valores de z a medida que x se incrementa mientras y se mantiene constante. Del mismo modo, la derivada parcial de f con respecto a y mide la velocidad a la que cambian los valores de z al aumentar y mientras x se mantiene constante. ¿Te has confundido? Tal vez un ejemplo concreto pueda aclararlo.
Supongamos que eres un ávido excursionista y que estás recorriendo un terreno accidentado con muchas colinas y valles. Llamemos este a la dirección x positiva, y norte a la dirección y positiva. Ahora, cuando salgas de tu ubicación en algún punto (a, b), puede que tengas que subir una colina mientras vas hacia el este. Esto correspondería a un valor positivo de la derivada parcial con respecto a x evaluada en el punto (a, b). Por otro lado, si en lugar de eso giras hacia el norte, puede ser que desciendas a un valle. Esto daría un valor negativo para la derivada parcial con respecto a y evaluada en (a, b). Las derivadas parciales son las herramientas matemáticas que se utilizan para medir el aumento o la disminución con respecto a una determinada dirección de desplazamiento.
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