Tipos de discontinuidad de una funcion
- El límite derecho o el límite izquierdo o ambos de una función pueden no existir.
- El límite derecho y el límite izquierdo de una función pueden existir pero ser desiguales.
- El límite derecho y el límite izquierdo de una función pueden existir, pero cualquiera de los dos o ambos pueden no ser iguales a f(a).
Definición de discontinuidad en matemáticas
La función de la gráfica que no está conectada entre sí se conoce como función discontinua. Se dice que una función f(x) tiene una discontinuidad del primer tipo en x = a, si el límite izquierdo de f(x) y el límite derecho de f(x) existen pero no son iguales. Se dice que f(x) tiene una discontinuidad del primer tipo por la izquierda en x = a, si la mano izquierda de la función existe pero no es igual a f(a).
En la gráfica anterior, los límites de la función por la izquierda y por la derecha no son iguales y, por tanto, el límite en x = 3 ya no existe. Se dice que esta función es una discontinuidad de una función.
Tipos de discontinuidad
Existen tres tipos de discontinuidad.
- Discontinuidad de salto
- Discontinuidad infinita
- Discontinuidad removible
Discontinuidad de salto
La discontinuidad por salto es de dos tipos:
- Discontinuidad de primer tipo
- Discontinuidad de segundo tipo
Discontinuidad de primer tipo: Se dice que la función f(x) tiene una discontinuidad de primer tipo por la derecha en x = a, si la mano derecha de la función existe pero no es igual a f(a). En la discontinuidad de salto, el límite de la mano izquierda y el límite de la mano derecha existen y son finitos pero no son iguales entre sí.
Discontinuidad de segundo tipo: Se dice que una función f(x) tiene discontinuidad de segundo tipo en x = a, si no existe ni límite izquierdo de f(x) en x = a ni límite derecho de f(x) en x = a.
Discontinuidad removible
Se dice que una función f(x) tiene una discontinuidad removible en x = a, si el límite izquierdo en x tiende al punto ‘a’ es igual al límite derecho en x tiende al punto ‘a’ pero su valor común no es igual a f(a). Una discontinuidad removible ocurre cuando hay una expresión racional con factores comunes en el numerador y el denominador. Como estos factores se pueden anular, la discontinuidad se elimina.
Discontinuidad infinita
En la Discontinuidad Infinita, uno o ambos límites, el de la mano derecha y el de la mano izquierda, no existen o son infinitos. También se conoce como Discontinuidad Esencial. Siempre que la gráfica de una función f(x) tenga la recta x = k, como asíntota vertical, entonces f(x) se vuelve positiva o negativamente infinita como x→k+ o x→K+. Entonces, se dice que la función f(x) tiene discontinuidad infinita.
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