Que es una funcion discontinua

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Que es una funcion discontinua
Es posible que ya hayas oído hablar de una función continua, que es una función en una gráfica que es una curva continua. Cuando bajas el lápiz para dibujarla, nunca levantas el lápiz hasta que la función está completa. Una función discontinua es lo contrario. Es una función que no es una curva continua, es decir, que tiene puntos aislados entre sí en una gráfica. Cuando bajas el lápiz para dibujar una función discontinua, debes levantar el lápiz al menos un punto antes de que esté completa. Si alguna vez ves una función con un corte de cualquier tipo en ella, entonces sabes que esa función es discontinua. En la función que tenemos aquí, puedes ver cómo la función sigue con una ruptura. La función discontinua se detiene donde x es igual a 1 e y es igual a 2, y se retoma donde x es igual a 1 e y es igual a 4.

Que es una funcion discontinua

Hay algunas propiedades que son específicas de las funciones discontinuas, y dos son especialmente importantes:

En primer lugar, la función siempre se rompe en un punto o en varios puntos. Como ya hemos comentado, las funciones discontinuas tienen puntos en los que la gráfica se detiene y se retoma en otro lugar.

En segundo lugar, el límite de la función en un punto de discontinuidad no está definido para la mayoría de las funciones discontinuas, pero no en todos los casos. El límite puede estar definido, pero sigue considerándose discontinuo.

Ahora, exploremos algunos de los tipos comunes de funciones discontinuas.

Discontinuidades removibles

Un tipo de discontinuidad se llama discontinuidad removible, o agujero. Se llama removible porque el punto puede ser redefinido para hacer la función continua al igualar el valor en ese punto con el resto de la función.

Cuando se representa gráficamente, una discontinuidad removible, o un agujero, es sólo un valor que falta en la función. Todo lo demás parece una gráfica continua. Si definimos ese punto que falta, habremos eliminado la discontinuidad.

Las funciones que tienen la característica de que sus gráficas se pueden dibujar sin levantar el lápiz del papel son un tanto especiales, en el sentido de que no tienen comportamientos extraños. La propiedad que describe esta característica se llama continuidad.

Definición de continuidad en un punto

Una función f(x) es continua en un punto donde x=c cuando se cumplen las tres condiciones siguientes.

  • La función existe en x=c. (En otras palabras, f(c) es un número real).
  • El límite de la función existe en x=c. (Es decir, limx→cf(x) es un número real).
  • Los dos valores son iguales. (Es decir, limx→cf(x)=f(c).)
  • Si una función tiene un agujero, las tres condiciones insisten efectivamente en que el agujero se rellene con un punto para que sea una función continua.

La continuidad también puede definirse a un lado de un punto, utilizando un límite unilateral.

  • Una función f(x) es continua por la izquierda en el valor x=c cuando f(c) existe, limx→c-f(x) existe, y limx→c-f(x)=f(c).
  • Una función f(x) es continua por la derecha en el valor x=c cuando f(c) existe, limx→c+f(x) existe, y limx→c+f(x)=f(c).

También podemos definir la continuidad en un intervalo.

  • Una función f(x) es continua en el intervalo abierto (a,b) si es continua en cada punto x=c contenido en ese intervalo.
  • Una función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] si es continua en el intervalo abierto (a,b), es continua por la derecha en x=a, y continua por la izquierda en x=b.
  • Una función f(x) es continua en todas partes si es continua en cada punto del intervalo (-∞,∞).
  • Más que definir si una función es continua o no, es más útil determinar dónde es continua una función.

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