Propiedades de la elipse
El perímetro de la elipse es la longitud de la línea continua que forma el límite de la elipse. Desgraciadamente, a diferencia de otras figuras, no existe una fórmula para calcular el valor exacto (o) preciso del perímetro de una elipse, o de cualquier otra figura de la sección cónica. Pero hay muchas fórmulas de aproximación para calcular el valor aproximado del perímetro como:
- Fórmulas de aproximación
- Fórmulas de Ramanujan
- Fórmulas usando series infinitas
- Fórmulas que utilizan la integración
Fórmulas de aproximación del perímetro de la elipse
Tenemos tres fórmulas de aproximación para calcular la circunferencia de la elipse. La primera se utiliza cuando la forma de la elipse es casi un círculo (es decir, los valores de ‘a’ y ‘b’ son aproximadamente iguales). La segunda (o) tercera fórmula se utiliza cuando uno de los valores de ‘a’ y ‘b’ es considerablemente grande comparado con el otro valor.
P ≈ π (a + b)
P ≈ π √[ 2 (a2 + b2) ]
P ≈ π [ (3/2)(a+b) – √(ab) ]
Cuando los valores de «a» y «b» no son aproximadamente iguales, podemos utilizar cualquiera de las fórmulas 2 o 3 para hallar el perímetro. Pero la fórmula 2 da un valor mayor mientras que la fórmula 3 da un valor menor que el real. Así que podemos obtener una respuesta relativamente cercana tomando la media de los valores obtenidos con la fórmula 2 y la fórmula 3.
Fórmulas de Ramanujan del perímetro de una elipse
Ramanujan, uno de los matemáticos más famosos, ideó algunas fórmulas para obtener mejores aproximaciones del perímetro de la elipse. Las fórmulas de Ramanujan para hallar el perímetro de la elipse se hicieron famosas porque son sencillas y fáciles de usar. Aunque estas fórmulas no dan el perímetro exacto, pueden dar razonablemente una respuesta muy cercana. Las fórmulas son:
P ≈ π [ 3 (a + b) – √[(3a + b) (a + 3b) ]] P ≈ π (a + b) [ 1 + (3h) / (10 + √(4 – 3h) ) ], donde h = (a – b)2/(a + b)2
Ejemplo resuelto sobre la circunferencia de la elipse
- Hallar la circunferencia de la elipse cuyo semieje mayor es de longitud 12 unidades y el semieje menor es de longitud 11 unidades utilizando una de las fórmulas de aproximación. Utilice π = 3,14.
Solución:
La longitud del semieje mayor es, a = 12 unidades.
La longitud del semieje menor es, b = 11 unidades.
Aquí ‘a’ está muy cerca de ‘b’. Así que podemos utilizar la siguiente fórmula para encontrar la circunferencia de la elipse.
P ≈ π (a + b)
P ≈ 3.14 (12 + 11)
P ≈ 72,22 unidades
Respuesta: El valor aproximado de la circunferencia de la elipse = 72,22 unidades.
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