Funciones de primer grado
Un polinomio es simétrico si sus variables no cambian bajo ninguna permutación (es decir, intercambio). En otras palabras, si se cambian dos de las variables, se obtiene el mismo polinomio.
El polinomio x + y + z es simétrico porque si se cambia cualquiera de las variables, sigue siendo el mismo. En otras palabras,
x + y + z = y + z + x = z + x + y
El polinomio x1x3 + 3x1x2x3 es un polinomio simétrico, porque si intercambias las variables, sigue siendo el mismo polinomio.
Polinomio simétrico elemental
Los polinomios simétricos elementales (a veces llamados funciones simétricas elementales) son los bloques de construcción de todos los polinomios simétricos. Para las variables x1, x2, x3,… xn, se definen matemáticamente como sigue
S1 = x1 + x2 + x3 + … + xn
S2 = x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + … + x(n – 1) x(n – 2)
S3 = x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + … + x(n – 2)x(n – 1)xn
…
Sn = x1 x2 x3 … xn
Como ejemplo, los polinomios simétricos elementales para las variables x1, x2 y x3 son:
S1 = x1 + x2 + x3
S2 = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3
S3 = x1 x2 x3
Gráficas de un polinomio simétrico
Se llaman «simétricos» no porque su gráfica muestre simetría, sino porque siguen siendo iguales si se permutan sus raíces. En cuanto a la gráfica, la gráfica de cualquier polinomio simétrico se verá exactamente igual sin importar las variables que se cambien. Si la gráfica cambia, entonces la expresión no es simétrica.
¿Por qué son importantes los polinomios simétricos?
Los polinomios simétricos son particularmente importantes en la teoría de los números porque dos tipos -los polinomios simétricos elementales y los polinomios simétricos de suma de potencias- pueden representar completamente cualquier conjunto de puntos en el conjunto de todos los números complejos.
Polinomio univariante
Un polinomio univariante tiene una variable, normalmente x o t. Por ejemplo, P(x) = 4×2 + 2x – 9. En el uso común, a veces se llaman simplemente «polinomios».
Para los polinomios de valor real, la forma general es
p(x) = pnxn + pn-1xn-1 + … + p1x + p0.
El polinomio univariado se llama polinomio mónico si pn ≠ 0 y se normaliza a pn = 1 (Parillo, 2006). En otras palabras, el coeficiente no nulo de mayor grado es igual a 1.
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