Funcion decreciente
Las funciones crecientes y decrecientes son funciones en cálculo para las que el valor de f(x) aumenta y disminuye respectivamente con el aumento del valor de x. La derivada de la función f(x) se utiliza para comprobar el comportamiento de las funciones crecientes y decrecientes. Se dice que la función es creciente si el valor de f(x) aumenta al aumentar el valor de x y se dice que la función es decreciente si el valor de f(x) disminuye al aumentar el valor de x.
¿Qué son las funciones crecientes y decrecientes?
Las funciones crecientes y decrecientes son funciones cuyas gráficas van hacia arriba y hacia abajo, respectivamente, a medida que nos movemos hacia el lado derecho del eje x. Las funciones crecientes y decrecientes también se denominan funciones no decrecientes y no crecientes.
Definición de funciones crecientes y decrecientes
- Función creciente – Se dice que una función f(x) es creciente en un intervalo I si para cualesquiera dos números x e y en I tales que x < y, tenemos f(x) ≤ f(y).
- Función decreciente – Se dice que una función f(x) es decreciente en un intervalo I si para cualesquiera dos números x e y en I tales que x < y, tenemos f(x) ≥ f(y).
- Función estrictamente creciente – Se dice que una función f(x) es estrictamente creciente en un intervalo I si para cualesquiera dos números x e y en I tales que x < y, tenemos f(x) < f(y).
- Función estrictamente decreciente – Se dice que una función f(x) es estrictamente decreciente en un intervalo I si para cualesquiera dos números x e y en I tales que x < y, tenemos f(x) > f(y).
Reglas para comprobar las funciones crecientes y decrecientes
Utilizamos la derivada de una función para comprobar si es una función creciente o decreciente. Supongamos que una función f(x) es diferenciable en un intervalo abierto I, entonces tenemos
Si f'(x) ≥ 0 en I, se dice que la función es creciente en I.
Si f'(x) ≤ 0 en I, se dice que la función es una función decreciente en I.
Ejemplo: Consideremos un ejemplo para entender mejor el concepto. Consideremos f(x) = x3 definida para todos los números reales. La derivada de f(x) = x3 viene dada por f'(x) = 3×2. Sabemos que el cuadrado de un número es siempre mayor o igual que 0, por lo tanto tenemos f'(x) = 3×2 ≥ 0 para todo x. Por lo tanto f(x) = x3 es una función creciente.
Propiedades de las funciones crecientes y decrecientes
Ya que sabemos cómo comprobar si una función es creciente o decreciente, repasemos las propiedades algebraicas de las funciones crecientes y decrecientes:
- Si las funciones f y g son funciones crecientes en un intervalo abierto I, entonces la suma de las funciones f + g también es creciente en este intervalo.
- Si las funciones f y g son funciones decrecientes en un intervalo abierto I, entonces la suma de las funciones f + g también es decreciente en este intervalo.
- Si la función f es una función creciente en un intervalo abierto I, entonces la función opuesta -f es decreciente en este intervalo.
- Si la función f es una función decreciente en un intervalo abierto I, entonces la función opuesta -f es creciente en este intervalo.
- Si la función f es una función creciente en un intervalo abierto I, entonces la función inversa 1/f es decreciente en este intervalo.
- Si la función f es una función decreciente en un intervalo abierto I, entonces la función inversa 1/f es creciente en este intervalo.
- Si las funciones f y g son funciones crecientes en un intervalo abierto I y f, g ≥ 0 en I, entonces el producto de las funciones fg es también creciente en este intervalo.
- Si las funciones f y g son funciones decrecientes en un intervalo abierto I y f, g ≥ 0 en I, entonces el producto de las funciones fg es también creciente en este intervalo.
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