Ecuacion parametrica de la circunferencia
Después de aprender la ecuación de una circunferencia, vamos a aprender a derivar la ecuación estándar de una circunferencia. Las coordenadas del centro del círculo se denotan por (a, b) como se muestra en la figura, y el radio se representa por r y (h, k) son los puntos arbitrarios situados en la circunferencia del círculo.
La distancia entre el punto arbitrario y el centro de la circunferencia es igual al radio de la misma. A partir de la fórmula de la distancia, obtenemos,
√(h-a)²+(k-b)²=r
Al elevar al cuadrado ambos lados, obtenemos,
(h – a)²+ (k – b)² = r², que es la ecuación estándar del círculo.
La notación general para representar el círculo utiliza x e y como puntos arbitrarios. Por lo tanto, la ecuación del círculo se convierte en (x – a)² + (x – y)² = r².
Sin embargo, esta representación de la ecuación del círculo no es la única que se utiliza en todo el mundo. También existen otras formas de notación.
Varias formas de representar la ecuación del círculo
¿Sabes que la ecuación del círculo puede representarse de múltiples formas? La ecuación de una circunferencia puede expresarse de varias formas dependiendo de la posición de la circunferencia en el plano cartesiano. Las múltiples formas de representar el círculo son:
- Forma general
x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 es la forma general de la ecuación del círculo. x e y son los puntos arbitrarios de la circunferencia del círculo, y g, f y c son las constantes. Esta forma general de la ecuación se utiliza para localizar el radio y las coordenadas del centro del círculo. A diferencia de la forma estándar de la ecuación del círculo, la forma general es difícil de entender y encontrar algunas propiedades significativas del círculo. Sin embargo, la forma general de la ecuación del círculo es útil para encontrar la familia de círculos en el plano cartesiano. - Forma estándar
La mayoría de los científicos y matemáticos utilizan la forma estándar de la ecuación del círculo porque proporciona información precisa sobre el centro y el radio del círculo. Además, la forma estándar de la ecuación del círculo es más fácil de entender y leer. La ecuación de la forma estándar de un círculo viene dada por:(x – x1)² + (y – y1)²= r², donde (x, y) son las coordenadas arbitrarias en la circunferencia del círculo, r es el radio del círculo y (x1, y1) son las coordenadas del centro del círculo. La forma estándar de la ecuación del círculo se deriva de la fórmula de la distancia. - Forma paramétrica
Para hallar la forma paramétrica de la ecuación del círculo, deducimos la forma general del círculo x² + y² + 2hx + 2ky + C = 0. Para ello, tomamos un punto general en el límite del círculo, por ejemplo, (x, y), y unimos este punto general con el centro del círculo (-h. -k). Cuando estos puntos se unen, forman un ángulo . Por lo tanto, la ecuación paramétrica del círculo se puede escribir como x²+ y²+ 2hx + 2ky + C = 0, donde x = -h + r cos e y =k + r sin. - Forma polar
La representación en forma polar es similar a la forma paramétrica de la ecuación del círculo. La forma polar se utiliza sobre todo para representar la ecuación del círculo cuyo centro está en el origen. Para ello, se toma un punto arbitrario A que tiene coordenadas (r cos, r sin) en la periferia del círculo y un radio r, que es la distancia entre el punto aleatorio y el origen. La ecuación del círculo con radio A y centro en el origen vendrá dada por, x²+ y² = A².
Poniendo los valores de x = r cos e y = r sin, obtenemos
(r cos)² + (r sin)² = A²
r²cos²θ + r²sin²θ = A²
r²(cos²θ + sin²θ) = A²
r²(1) = A²(Ya que, cos²θ + sin²θ = 1 a partir de las identidades trigonométricas)
r = A
donde p es el radio del círculo. Por lo tanto, la forma polar se utiliza para encontrar el radio del círculo a partir de la forma estándar de la ecuación del círculo.
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