Ecuación ordinaria

Ecuacion ordinaria

Una ecuación diferencial ordinaria (también abreviada como EDO), en Matemáticas, es una ecuación que consta de una o más funciones de una variable independiente junto con sus derivadas. Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene una función con una o más derivadas. Pero en el caso ODE, la palabra ordinaria se utiliza para la derivada de las funciones para la única variable independiente. En el caso de otros tipos de ecuaciones diferenciales, es posible tener derivadas para funciones de más de una variable. Los tipos de ED son la ecuación diferencial parcial, las ecuaciones diferenciales lineales y no lineales, la ecuación diferencial homogénea y no homogénea.

En matemáticas, el término «ecuaciones diferenciales ordinarias», también conocido como EDO, es una ecuación que contiene sólo una variable independiente y una o más de sus derivadas con respecto a la variable. En otras palabras, la EDO se representa como la relación que tiene una variable independiente x, la variable dependiente real y, con algunas de sus derivadas.

y’,y», ….yn ,…con respecto a x.

Orden

El orden de las ecuaciones diferenciales ordinarias se define como el orden de la derivada más alta que aparece en la ecuación. La forma general de la EDO de n-ésimo orden está dada como

F(x, y,y’,….,yn ) = 0

Nótese que, y’ puede ser dy/dx o dy/dt y yn puede ser dny/dxn o dny/dtn.

Una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden es lineal si se puede escribir en la forma

a0(x)yn + a1(x)yn-1 +…..+ an(x)y = r(x)

La función aj(x), 0 ≤ j ≤ n se llaman los coeficientes de la ecuación lineal. Se dice que la ecuación es homogénea si r(x) = 0. Si r(x)≠0, se dice que es una ecuación no homogénea.

Tipos

La ecuación diferencial ordinaria se clasifica a su vez en tres tipos. Son:

EDO autónoma
EDO lineal
EDO no lineal

Ecuaciones diferenciales ordinarias autónomas

Una ecuación diferencial que no depende de la variable, digamos x, se conoce como ecuación diferencial autónoma.

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales

Si las ecuaciones diferenciales se pueden escribir como combinaciones lineales de las derivadas de y, entonces se llaman ecuaciones diferenciales ordinarias lineales. Estas pueden ser clasificadas en dos tipos:

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas
Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas

Ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales

Si las ecuaciones diferenciales no pueden ser escritas en forma de combinaciones lineales de las derivadas de y, entonces se conoce como una ecuación diferencial ordinaria no lineal.

Aplicaciones

Las EDO tienen notables aplicaciones y tienen la capacidad de predecir el mundo que nos rodea. Se utiliza en una variedad de disciplinas como la biología, la economía, la física, la química y la ingeniería. Ayuda a predecir el crecimiento y la decadencia exponencial, el crecimiento de la población y de las especies. Algunos de los usos de las EDO son

Modelar el crecimiento de las enfermedades
Describe el movimiento de la electricidad
Describe el movimiento del péndulo, las ondas
Se utiliza en la segunda ley del movimiento de Newton y en la ley del enfriamiento

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