Derivada arcotangente

Antes de ver cuál es la derivada de arctan, veamos algunos datos sobre arctan. Arctan (o) tan-1 es la función inversa de la función tangente. Es decir, si y = tan-1x entonces tan y = x. Además, sabemos que si f y f-1 son funciones inversas entre sí entonces f(f-1(x)) = f-1(f(x)) = x. A partir de esto, tan(arctan x) = arctan(tan x) = x en los respectivos dominios. Utilizamos estos hechos para encontrar la derivada de arctan x.

Derivada arcotangente

La derivada de arctan x se representa por d/dx(arctan x) (o) d/dx(tan-1x) (o) (arctan x)’ (o) (tan-1x)’. Su valor es 1/(1+x2). Vamos a demostrarlo por dos métodos en las próximas secciones. Los dos métodos son

Utilizando la regla de la cadena
Utilizando el primer principio

Fórmula de la derivada de Arctan x

La derivada de la función arctangente es

d/dx(arctan x) = 1/(1+x2) (O)
d/dx(tan-1x) = 1/(1+x2)

Prueba de la derivada de Arctan por la regla de la cadena

Encontramos la derivada de arctan utilizando la regla de la cadena. Para ello, supongamos que y = arctan x. Tomando tan en ambos lados

tan y = tan (arctan x)

Por la definición de función inversa, tan (arctan x) = x. Así que la ecuación anterior se convierte en

tan y = x … (1)

Diferenciando ambos lados con respecto a x

d/dx (tan y) = d/dx(x)

Tenemos d/dx (tan x) = sec2x. Además, por la regla de la cadena

sec2y – dy/dx = 1

dy/dx = 1/sec2y

Usando una de las identidades trigonométricas, sec2y = 1 + tan2y.

dy/dx = 1/(1 + tan2y)

dy/dx = 1/(1 + x2) (de (1))

Sustituyendo y = arctan x aquí

d/dx (arctan x) = 1/(1 + x2)

Por tanto, queda demostrado.

Ejemplos con la derivada de Arctan x

Encuentra la derivada de y = x arctan x.

Solución:

La función dada es, y = x arctan x.

Por la regla del producto, su derivada es

y’ = x – d/dx (arctan x) + arctan x – d/dx(x)

= x [1/(1+x2)] + arctan x (1)

= x/(1+x2) + arctan x

Respuesta: La derivada de la función dada es x/(1+x2) + arctan x.

Hallar la derivada de y = arctan (1/x).

Solución:

Sea f(x) = arctan (1/x).

Sabemos que d/dx (arctan x) = 1/(1+x2).

Además, por la regla de la cadena

y’ = 1/(1 + (1/x)2) – d/dx (1/x)

= 1/ (1 + (1/x2)) – (-1/x2)

= x2/(x2 + 1) – (-1/x2)

= (-1) / (x2 + 1)

Respuesta: La derivada de la función dada es (-1) / (x2 + 1).

Encuentra la derivada de y = tan-1(1 + x2).

Solución:

Sea f(x) = tan-1(1 + x2).

Sabemos que d/dx (tan-1 x) = 1/(1+x2).

Además, por la regla de la cadena

y’ = 1 / [1 + (1+x2)2] – d/dx (1 + x2)

= 1 / [1 + x4 + 2×2 + 1] – (2x)

= (2x) / [x4 + 2×2 + 2]

Respuesta: La derivada de la función dada es (2x) / [x4 + 2×2 + 2].

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