Continuidad de una función
Se dice que una función es continua si se puede trazar su curva en una gráfica sin levantar el lápiz ni una sola vez. Se dice que una función es continua en x = a, si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes.
- La función está definida en x = a; es decir, f(a) es igual a un número real
- El límite de la función cuando x se aproxima a a existe
- El límite de la función a medida que x se acerca a a es igual al valor de la función en x = a
Se dice que una función f(x) es continua en el intervalo abierto (a, b) si en cualquier punto del intervalo dado la función es continua. En el caso del intervalo cerrado [a, b], se dice que la función es continua:
f(x) es continua en el intervalo abierto (a, b)
limx⇢a f(x) = f(a)
limx⇢b f(x) = f(b)
Ejemplo
Demuestra que la función f(x) = 5x – 3 es continua en x = 0.
Solución:
Dada, f(x) = 5x – 3
En x = 0 , f(0) = (5 × 0) – 3 = -3
limx⇢0 f(x) = limx⇢0 (5x – 3) = (5 × 0) – 3 = -3
limx⇢0 f(x) = f(0)
Por tanto, f(x) es continua en x = 0.
Examina la continuidad de la función f(x) = |x – 5|.
Solución:
Dada la función, f(x) = |x – 5|
El dominio de f(x) es real e infinito para todo x real
Aquí , f(x) = |x – 5| es una función módulo
Como , toda función módulo es continua
Por tanto , f(x) es continua en su dominio R.
Es la función f(x) = x – sinx + 5 es continua en x = π.
Solución:
La función dada es f(x) = x – sinx + 5
L.H.L = limx⇢π- (x – sinx + 5) = limx⇢π- [(π – h) – sin(π – h) + 5] = π + 5
R.H.L = limx⇢π+ (x – sinx + 5) = limx⇢π+ [(π + h) – sin(π + h) + 5] = π + 5
Y, f(π) = π – sinπ + 5 = π + 5
Como , L.H.L = R.H.L = f(π)
Por tanto , f(x) es continua en x = π
Examina la continuidad de la función f(x) = 2x – 1 en x = 3.
Solución:
Dada f(x) = 2x – 1
En x = 3, f(x) = (2 × 3) – 1 = 5
limx⇢3 f(x) = limx⇢3 f(x) = (2×3) – 1 = 5
limx⇢3 f(x) = f(3)
Por lo tanto, f(x) es continua en x = 3
Vídeos de Continuidad de una función
https://www.youtube.com/watch?v=Yb-lUhwxRKA
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