Grafica arcocoseno
Tenemos 6 funciones trigonométricas inversas como
- arcsin = inversa de sin = sin-1
- arccos = inversa de cos = cos-1
- arctan = inversa de tan = tan-1
- arccsc = inversa de csc = csc-1
- arcsec = inverso de sec = sec-1
- arccot = inverso de cot = cot-1
¿Qué es el arcocoseno?
El arcocoseno es la inversa de la función coseno y por tanto es una de las funciones trigonométricas inversas. El arcocoseno se pronuncia como «arco del coseno». El arcocoseno de x también puede escribirse como «acosx» (o) «cos-1x» o «arccos». Si f y f-1 son funciones inversas entre sí, entonces f(x) = y ⇒ x = f-1(y). Entonces y = cos x ⇒ x = cos-1(y). Este es el significado del arcocoseno. Veamos algunos ejemplos para ver cómo funciona la función arcocoseno.
- cos 0 = 1 ⇒ 0 = arccos (1)
- cos π/2 = 0 ⇒ π/2 = arccos (0)
- cos π = -1 ⇒ π = arccos (-1)
En un triángulo rectángulo, el coseno de un ángulo (θ) es la relación entre su lado adyacente y la hipotenusa, es decir, cos θ = (lado adyacente) / (hipotenusa). Entonces, por la definición de arcocoseno, θ = cos-1[ (lado adyacente) / (hipotenusa) ] .
Definición de arcocoseno o arco cos o cos -1
Así, la función arcocoseno se utiliza para encontrar los ángulos desconocidos en un triángulo rectángulo. También se puede utilizar para encontrar los ángulos desconocidos en cualquier triángulo utilizando la ley de los cosenos. Por ejemplo, en un triángulo ABC, si AB = c, BC = a, y CA = b, entonces por la ley de los cosenos
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
Usando esto
cos A = (b2 + c2 – a2) / (2bc)
A = cos-1[(b2 + c2 – a2) / (2bc)] (o) arccoseno[(b2 + c2 – a2) / (2bc)].
Del mismo modo, podemos encontrar los otros ángulos del triángulo dadas las longitudes de sus lados.
Ejemplos de arcocoseno
- Si θ es un ángulo agudo en un triángulo rectángulo cuyo lado adyacente es de 2 unidades y la hipotenusa es de 4 unidades, halla θ.
Solución:
Sabemos que cos θ = (lado adyacente) / (hipotenusa) = 2/4 = 1/2.
Sabemos que el arcocoseno (que se escribe como cos-1) es la inversa de cos. Así que
θ = cos-1 (1/2) = π/3.
(Esto es así porque a partir de la tabla trigonométrica, cos π/3 = 1/2)
Respuesta: θ = π/3.
- Hallar los valores de: a) cos(cos-1 2) b) cos-1(cos 7π/6).
Solución:
a) Sabemos que cos(cos-1 x) NO está definido cuando x NO está en [-1, 1] ya que el dominio del arcocoseno es [-1, 1].
Por tanto, cos(cos-1 2) NO está definido.
b) cos-1(cos 7π/6)
Ten en cuenta que NO es igual a 7π/6 ya que 7π/6 ∉ [0, π].
Así que tenemos que convertir este ángulo para que esté en el intervalo [0, π].
Como tenemos cos x = cos (2π – x),
cos 7π/6 = cos(2π- 7π/6) = cos(5π/6)
Tenemos que 5π/6 ∈ [0, π].
Por tanto, cos-1(cos 7π/6) = cos-1(cos 5π/6) = 5π/6
Respuesta: a) cos(cos-1 2) NO está definido b) cos-1(cos 7π/6) = 5π/6.
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