Derivada seno
La derivada de sen x se denota por d/dx (sen x) = cos x. La otra forma de representar la función seno es (sen x)’ = cos x.
(d/dx) sin x = cos x
La derivada de sen x se puede encontrar utilizando tres métodos diferentes, como:
- Utilizando la regla de la cadena
- Utilizando la regla del cociente
- Utilizando el primer principio.
Ahora, vamos a discutir el método del primer principio para encontrar la derivada de sen x.
Derivada de Sin x usando el método del primer principio
La derivada de cualquier función se puede encontrar usando la definición de límite de la derivada. (Es decir, el primer principio. Por lo tanto, ahora vamos a aplicar el método del primer principio para encontrar la derivada de sen x también.
Supongamos que la función, f(x) = sen x a diferenciar.
Entonces, f(x+h) = sen (x+h)
Utilizando el primer principio para la función f(x), f ‘(x) viene dada por:
f'(x) = limh→0 [f(x+h) – f(x)]/h
Sustituyendo f(x) = sen x y f(x+h) = sen(x+h) en la fórmula, obtenemos
f'(x) = limh→0 [ sin (x+h) – sin(x)]/h
Ahora, utilizando la suma y diferencia de ángulos en trigonometría, sin (A+B) = Sin A Cos B + Cos A Sin B, el límite anterior se puede escribir como sigue
f'(x) = limh→0 [sin x cos h + cos x sin h – sin x]/h
f'(x) = limh→0 [-sin x(1-cosh) + cos x sin h]/h
f'(x) = {limh→0 [[-sin x(1-cosh)]/h} + {limh→0(cos x sin h)/h}
f'(x) = (-sin x) { limh→0 [(1-cosh)]/h} + (cos x) {limh→0 (sin h)/h}
Ahora, utilizando la fórmula del semiángulo, 1- cos h = 2 sin2 (h/2), la ecuación anterior se escribe como
f'(x) = (- sin x) {limh→0 [(2 sin2 (h/2))]/h} + (cos x) {limh→0 (sin h)/h}
f'(x) =(-sin x) [limh→0 (sin(h/2))/(h/2). limh→0sin (h/2)] + (cos x) {limh→0 (sin h)/h}
Como sabemos
limx→0(sen x/x) = 1, obtenemos
f'(x) = – sin x (1. sin (0/2)) + cos x (1)
f'(x) = – sen x(0) + cos x
f'(x) = cos x
Por lo tanto, la derivada de sen x es cos x, se deriva.
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