Área de un triángulo equilátero
El área de un triángulo equilátero se define como la región cubierta por los tres lados del triángulo. Se expresa en unidades cuadradas. Algunas unidades importantes utilizadas para expresar el área de un triángulo equilátero son in2, m2, cm2, yd2, etc. Entendamos la fórmula para calcular el área de un triángulo equilátero y su derivación en los siguientes apartados.
Fórmula del área de un triángulo equilátero
La fórmula del área de un triángulo equilátero se utiliza para calcular el espacio ocupado entre los lados del triángulo equilátero en un plano 2D. El cálculo de las áreas de cualquier forma geométrica es una habilidad muy importante utilizada por muchas personas en su trabajo. Para el triángulo equilátero, tenemos la fórmula de su área. En un triángulo general, encontrar el área de un triángulo puede ser un poco complicado por ciertas razones. Pero encontrar el área de un triángulo equilátero es un cálculo bastante sencillo.
La fórmula general del área de un triángulo cuya base y altura se conocen es la siguiente
Área = 1/2 × base × altura
Mientras que la fórmula para calcular el área de un triángulo equilátero viene dada como,
Área = √3/4 × (lado)2 unidades cuadradas
En el triángulo ABC dado, Área de ΔABC = (√3/4) × (lado)2 unidades cuadradas, donde, AB = BC = CA = a unidades (la longitud de los lados iguales del triángulo).
Por lo tanto, la fórmula para el área del triángulo equilátero anterior se puede escribir como:
Área del triángulo equilátero ΔABC = (√3/4) × a2 unidades cuadradas
Ejemplo
- ¿Cómo hallar el área de un triángulo equilátero con un lado de 4 unidades?
Solución:
Utilizando la fórmula del área del triángulo equilátero: (√3/4) × a2 unidades cuadradas,
sustituiremos los valores de la longitud de los lados.
Por tanto, el área del triángulo equilátero (√3/4) × 42 = 4√3 unidades cuadradas.
Derivación de la fórmula del área de un triángulo equilátero
En un triángulo equilátero, todos los lados son iguales y todos los ángulos internos son de 60°. Por tanto, el área de un triángulo equilátero se puede calcular si se conoce la longitud de un lado. La fórmula para calcular el área de un triángulo equilátero es la siguiente
Área de un triángulo equilátero = (√3/4) × a2 unidades cuadradas
donde,
a = Longitud de cada lado de un triángulo equilátero
La fórmula anterior para encontrar el área de un triángulo equilátero se puede derivar de las siguientes maneras:
- Utilizando la fórmula general del área de un triángulo
- Utilizando la fórmula de Heron
- Utilizando la trigonometría
Deducción del área de un triángulo equilátero mediante la fórmula del área de un triángulo
La fórmula utilizada para calcular el área de un triángulo equilátero se puede derivar utilizando la fórmula general del área del triángulo. Para ello, necesitamos la longitud de cada lado y la altura del triángulo equilátero. Así pues, calcularemos la altura de un triángulo equilátero en función de la longitud de los lados.
La fórmula del área de un triángulo equilátero sale de la fórmula general del área del triángulo que es igual a ½ × base × altura. La fórmula de un triángulo equilátero se deriva de la siguiente manera
Área del triángulo = ½ × base × altura
Para hallar la altura de un triángulo equilátero utilizamos el teorema de Pitágoras (hipotenusa2 = base2 + altura2).
En este caso, la base = a/2, la altura = h y la hipotenusa = a (véase la figura anterior).
Ahora, aplica el teorema de Pitágoras en el triángulo.
a2 = h2 + (a/2)2
⇒ h2 = a2 – (a2/4)
⇒ h2 = (3a2)/4
O bien, h = ½(√3a)
Ahora, pon el valor de «h» en la ecuación del área del triángulo.
Área del triángulo = ½ × base × altura
⇒ A = ½ × a × ½(√3a) [La base del triángulo es ‘a’ unidades]
O bien, área del triángulo equilátero = ¼(√3a2)
Así, la fórmula de la altura viene a ser ½ × (√3 × lado), y además, el área del triángulo equilátero se convierte en √3/4 × lado2 unidades cuadradas.
Vídeos de Área de un triángulo equilátero
Contenido