Multiplicación de vectores
Un vector puede ser multiplicado por otro vector pero no puede ser dividido por otro vector. Hay dos tipos de productos de vectores que se utilizan ampliamente en física e ingeniería. Un tipo de multiplicación es la multiplicación escalar de dos vectores. Al tomar un producto escalar de dos vectores se obtiene un número (un escalar), como su nombre indica. Los productos escalares se utilizan para definir relaciones de trabajo y energía. Por ejemplo, el trabajo que una fuerza (un vector) realiza sobre un objeto provocando su desplazamiento (un vector) se define como un producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento. Un tipo de multiplicación bastante diferente es la multiplicación vectorial de vectores. Tomar un producto vectorial de dos vectores devuelve como resultado un vector, como su nombre indica. Los productos vectoriales se utilizan para definir otras magnitudes vectoriales derivadas. Por ejemplo, al describir las rotaciones, una cantidad vectorial llamada par de torsión se define como un producto vectorial de una fuerza aplicada (un vector) y su distancia desde el pivote a la fuerza (un vector). Es importante distinguir entre estos dos tipos de multiplicaciones vectoriales porque el producto escalar es una cantidad escalar y el producto vectorial es una cantidad vectorial.
Vectores
Dos vectores no colineales (no paralelos) definen un plano, y hay dos formas de erigir un tercer vector perpendicular a ese plano (y, por tanto, a los dos vectores dados). La dirección definida por la regla de la derecha se prefiere habitualmente a la otra. Cuando se mira desde la parte superior del dedo índice (z), el movimiento desde el dedo corazón (x) hacia el golpe (y) es positivo (en sentido contrario a las agujas del reloj).
El difunto Isaac Isimov sugirió una vez con aprensión que los avances tecnológicos podrían llevar a cambios en el tesauro que eliminaran nociones tan queridas para el corazón como las direcciones de las agujas del reloj y las contrarias. Por suerte, ningún progreso tecnológico podría afectar a la base física de la regla de las agujas del reloj.
Definición
Sean a y b dos vectores no colineales. Su producto cruzado (o externo, o vectorial) se define como un vector a×b perpendicular a a y b y cuya
- dirección es tal que los tres vectores a, b y a×b forman un sistema recto.
- La longitud es igual al área del paralelogramo construido sobre los vectores a y b.
- El producto cruzado de vectores colineales se define como 0. (Lo cual es consistente con el caso no colineal ya que podemos pensar que dos vectores paralelos definen un paralelogramo (de una línea) con área cero.
Obviamente, el producto no tiene ningún elemento unitario. En el lado positivo, se cumplen las leyes asociativa y distributiva. Para esta última, es obvio a partir de las consideraciones geométricas. La ley distributiva implica la homogeneidad (siempre que, por supuesto, establezcamos primero algún tipo de continuidad. Pero esto es factible: pequeños cambios en a o b dan lugar a pequeños cambios en el área del paralelogramo que definen. El plano tampoco cambia drásticamente). Para un escalar t
(ta)×b = a×(tb) = t(a×b)
El producto cruzado también es anticonmutativo:
a×b = – b×a
como se deduce de la definición.
El producto cruzado puede expresarse en términos de un determinante 3×3. Sean e1, e2 y e3 tres vectores unitarios mutuamente ortogonales que forman un sistema diestro. Entonces, de nuevo por definición
e3 = e1×e2, e2 = e3×e1, e1 = e2×e3
Si a = a1e1 + a2e2 + a3e3 y b = b1e1 + b2e2 + b3e3 entonces
a×b = (a2b3 – a3b2)e1 – (a1b3 – a3b1)e2 + (a1b2 – a2b1)e3
Vídeos de Multiplicación de vectores
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