Derivadas de funciones implicitas
La diferenciación implícita es el proceso de encontrar la derivada de una función implícita. Hay dos tipos de funciones: función explícita y función implícita. Una función explícita es de la forma y = f(x) con la variable dependiente «y» está en uno de los lados de la ecuación. Pero no es necesario que «y» esté siempre en uno de los lados de la ecuación. Por ejemplo, considera las siguientes funciones
x2 + y = 2
xy + sin (xy) = 0
En el primer caso, aunque ‘y’ no sea uno de los lados de la ecuación, podemos resolverla para escribirla como y = 2 – x2 y es una función explícita. Pero en el segundo caso, no podemos resolver la ecuación fácilmente para ‘y’, y este tipo de función se llama función implícita y en esta página, vamos a ver cómo encontrar la derivada de una función implícita utilizando el proceso de diferenciación implícita.
¿Qué es la diferenciación implícita?
La diferenciación implícita es el proceso de diferenciar una función implícita. Una función implícita es una función que puede expresarse como f(x, y) = 0. Es decir, no puede resolverse fácilmente para ‘y’ (o) no puede ponerse fácilmente en la forma de y = f(x). Consideremos un ejemplo para encontrar dy/dx dada la función xy = 5. Vamos a encontrar dy/dx de dos maneras: (i) Resolviendo para y (ii) Sin resolver para y.
Método – 1:
xy = 5
y = 5/x
y = 5x-1
Diferenciando ambos lados con respecto a x:
dy/dx = 5(-1x-2) = -5/x2
Método – 2:
xy = 5
Diferenciando ambos lados con respecto a x
d/dx (xy) = d/dx(5)
Utilizando la regla del producto en el lado izquierdo
x d/dx(y) + y d/dx(x) = d/dx(5)
x (dy/dx) + y (1) = 0
x(dy/dx) = -y
dy/dx = -y/x
A partir de xy = 5, podemos escribir y = 5/x.
dy/dx = -(5/x)/x = -5/x2
En el método -1, hemos convertido la función implícita en función explícita y hemos hallado la derivada utilizando la regla de la potencia. Pero en el método-2, hemos diferenciado ambos lados con respecto a x considerando y como una función de x, y este tipo de diferenciación se llama diferenciación implícita. Pero para algunas funciones como xy + sin (xy) = 0, escribirla como una función explícita (Método – 1) no es posible. En estos casos, sólo la diferenciación implícita (Método – 2) es la forma de encontrar la derivada.
Derivada implícita
La derivada que se encuentra utilizando el proceso de diferenciación implícita se llama derivada implícita. Por ejemplo, la derivada dy/dx encontrada en el Método-2 (en el ejemplo anterior) al principio era dy/dx = -y/x y se llama la derivada implícita. Una derivada implícita normalmente está en términos de x e y.
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