Formula de heron
La fórmula de Herón se utiliza para determinar el área de los triángulos cuando se dan las longitudes de todos sus lados o el área de los cuadriláteros. También la conocemos como fórmula de Hero. Esta fórmula para encontrar el área no depende de los ángulos de un triángulo. Sólo depende de las longitudes de todos los lados de los triángulos. Contiene el término «s» que se conoce como semiperímetro, que se obtiene dividiendo por la mitad el perímetro de un triángulo. Del mismo modo, este concepto de hallar el área se extiende también para determinar el área de los cuadriláteros.
Historia de la fórmula de Heron
La fórmula de Herón fue escrita en el año 60 de la era cristiana por Herón de Alejandría. Fue un ingeniero y matemático griego que determinó el valor del área del triángulo utilizando sólo las longitudes de sus lados y lo amplió para calcular las áreas de los cuadriláteros. Utilizó esta fórmula para demostrar las leyes trigonométricas como las leyes de los cosenos o las leyes de las cotangentes.
Definición de la fórmula de Herón
Según la fórmula de Herón, el valor del área de cualquier triángulo que tenga las longitudes, a, b, c, el perímetro del triángulo, P, y el semiperímetro del triángulo como s se determina utilizando la fórmula dada a continuación:
Triángulo con longitudes laterales dadas
Área del triángulo ABC = √s(s-a)(s-b)(s-c), donde s = Perímetro/2 = (a + b + c)/2
- Ejemplo: Hallar el área de un triángulo cuyas longitudes son 5 unidades, 6 unidades y 9 unidades respectivamente.
Solución: Como sabemos, a = 5 unidades, b = 6 unidades y c = 9 unidades
Por tanto, el semiperímetro, s = (a + b + c)/2 = (5 + 6 + 9)/2 = 10 unidades
Área del triángulo = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) = √(10(10-5)(10-6)(10-9))
⇒ Área del triángulo = √(10 × 5 × 4 × 1) = √200 = 14,142 unidad2
∴ El área del triángulo es 14,142 unidad2
¿Cómo encontrar el área utilizando la fórmula de Heron?
Los pasos para determinar el área utilizando la fórmula de Heron son:
Paso 1: Encontrar el perímetro del triángulo dado.
Paso 2: Hallar el semiperímetro dividiendo el perímetro por la mitad.
Paso 3: Encontrar el área del triángulo utilizando la fórmula de Heron √(s(s – a)(s – b)(s – c)).
Paso 4: Una vez determinado el valor, escribe la unidad al final (Por ejemplo, m2, cm2, o in2).
Fórmula de Herón para el triángulo equilátero
Un triángulo equilátero tiene todos los lados de la misma longitud. Por tanto, en este caso, las longitudes de todos los lados son iguales. Supongamos que la longitud de todos los lados es «a», el semiperímetro es «s» y el área del triángulo equilátero es «A».
Así, el semiperímetro del triángulo es s = (a + a + a)/2 = 3a/2
Área del triángulo equilátero, A = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) = √((3a/2)((3a/2)-a)((3a/2)-a)((3a/2)-a))
⇒ A = √((3a/2)(3a/2-a)3) = √((3a/2)(a/2)3)
⇒ A = √((3a × a3)/2 × 8) = √(3a4/16) = (√3 × a2)/4
Fórmula de Herón para el triángulo escaleno
Un triángulo escaleno tiene todas las longitudes de los lados diferentes. Supongamos que la longitud de los lados es a, b, c, el semiperímetro es «s» y el área del triángulo escaleno es «A».
Área del triángulo escaleno = √s(s-a)(s-b)(s-c), donde s = (a + b + c)/2
Fórmula de Herón para el triángulo isósceles
Un triángulo isósceles tiene dos lados de igual longitud. Supongamos que la longitud de los dos lados es a y un lado es b, el semiperímetro es «s» y el área del triángulo isósceles es «A».
Por tanto, el semiperímetro del triángulo es s = (a + a + b)/2 = (a+b/2)
Área del triángulo isósceles, A = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) = √(a+b/2)((a+b/2)-a)((a+b/2)-a)((a+b/2)-b))
⇒ A = √(a+b/2)((b/2)(b/2)(a-b/2))= √((a2 – (b/2)2)(b/2)2)
⇒ A = √(a2 – (b2/4))× (b2/4)) = (b/4)√(4a2- b2)
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