Regla de l’hopital
Independientemente de quién la descubriera, la regla de L’Hospital es una herramienta realmente útil que puedes utilizar para resolver problemas de límites. La regla de L’Hospital se utiliza cuando se evalúa un límite y el resultado es una forma indeterminada, como 0/0 o infinito/infinito. Para un límite que da una forma indeterminada, la regla de L’Hospital dice que puedes sustituir el numerador y el denominador de la función original por sus respectivas derivadas. En otras palabras, sustituye el numerador por su derivada, y sustituye el denominador por su derivada. A continuación, utiliza la sustitución para intentar evaluar de nuevo el límite. A menudo, la regla de L’Hospital habrá simplificado la función hasta el punto de que la sustitución ya no da una forma indeterminada, sino una respuesta en números reales.
Además, la regla de L’Hospital puede aplicarse varias veces. Así que incluso si la utilizas una vez, y luego intentas la sustitución y sigues obteniendo una forma indeterminada, puedes intentar aplicar la regla de L’Hospital una y otra vez hasta que finalmente obtengas una respuesta de número real. El único inconveniente es que hay algunos casos en los que no se puede utilizar la regla de L’Hospital.
Fórmula de la regla de L’Hospital
La regla de L’Hospital establece que para dos funciones continuas cualesquiera f(x) y g(x), lim ₓ → ₐ f(x)/g(x) es una forma indeterminada, entonces lim ₓ → ₐ f(x) / g(x) = lim ₓ → ₐ f’ (x) / g'(x), donde
‘a’ es cualquier número real, o ∞, o – ∞.
lim ₓ → ₐ f(x) / g(x) es una forma indeterminada cuando se aplica x = a.
f'(x) es la derivada de f(x)
g'(x) es la derivada de g(x) y g'(a) ≠ 0.
¿Cuándo y cómo aplicar la regla de L’Hopital?
La regla de L’Hopital debe aplicarse sólo cuando lim ₓ → ₐ f(x) / g(x) conduce a una forma indeterminada por la aplicación directa del límite. En estos casos, nos limitamos a diferenciar el numerador y el denominador por separado y luego aplicamos el límite. A continuación se presentan los mismos ejemplos que se mencionaron en el primer apartado y que se resuelven con la regla de L’Hopital muy fácilmente.
lim ₓ → ₂ (x2 – 4) / (x – 2) = 0/0 por la aplicación directa del límite (x = 2).
Utilizando la regla de L’Hopital:
lim ₓ → ₂ (x2 – 4) / (x – 2) = lim ₓ → ₂ (2x) / (1) = 2(2) = 4.
lim ₓ → ₀ (sen x) / x = 0 / 0 cuando se aplica x = 0.
Utilizando la regla de L’Hopital:
lim ₓ → ₀ (sen x) / x = lim ₓ → ₀ (cos x) / 1 = cos 0 = 1.
A veces, el límite sigue resultando de forma indeterminada incluso después de aplicar la regla de L’Hopital por una vez. En ese caso, podemos aplicar la misma regla una y otra vez según sea necesario.
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