Limites de funciones
Hablemos por un momento del cálculo de límites. Veamos la función f(x) = (x – 3)sen(x) + 10. Busquemos el límite de esta función cuando x se acerca a 3,7. Para ello, recordemos primero las propiedades de los límites. Tenemos una propiedad de adición que puede ser útil aquí. Ésta dice que el límite a medida que x se acerca a C de alguna suma de dos funciones es igual al límite de cada una de esas funciones tomadas por separado y sumadas. Esta es nuestra propiedad de divide y vencerás. Tenemos otra propiedad de divide y vencerás cuando miramos los productos. Esta propiedad dice que si quieres tomar el límite de dos funciones que se multiplican juntas, puedes tomar el límite de cada una de esas funciones por separado y multiplicar la respuesta junta.
Un límite de una función es un valor al que la salida de la función puede acercarse tanto como queramos siempre que la entrada esté lo suficientemente cerca de algún punto.
Para funciones de una variable real
limx→af(x)=L⇔(x→a⇒f(x)→L)
⇔(∀ϵ>0∃δ>0)[|x-a|<δ⇒|f(x)-L|<ϵ]
También tenemos la definición de límite de una función de una variable real a medida que la entrada va a más o menos el infinito. Siendo el límite en este caso un valor al que la salida puede acercarse arbitrariamente siempre que la entrada se aleje lo suficiente.
limx→±∞f(x)=L⇔(x→±∞⇒f(x)→L)
⇔(∀ϵ>0∃N>0)[±x>N⇒|f(x)-L|<ϵ]
Una función es continua en un punto si es igual a su límite allí.
Dada una función entre espacios métricos (Conjuntos junto con una noción de distancia) definimos un límite al acercarnos a un punto formalmente como lo siguiente.
f:(X,dX)→(Y,dY),limx→af(x)=L
⇔(∀ϵ>0∃δ>0)[dX(x,a)<δ⇒dY(f(x),L)<ϵ]
Podemos generalizar esto aún más para funciones entre espacios topológicos. Para toda vecindad abierta alrededor del límite siempre podemos encontrar una vecindad abierta alrededor del punto al que nos acercamos tal que su imagen esté dentro de la vecindad abierta dada.
f:(X,τX)→(Y,τY),limx→af(x)=L
⇔(∀V∈τY,L∈V∃U∈τX,a∈U)[f(U)⊆V]
Vídeos de Limites de funciones
https://www.youtube.com/watch?v=uVwa7hHiROc
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