Derivadas de funciones exponenciales
La derivada de la función exponencial f(x) = ax, a > 0 es el producto de la función exponencial ax y el logaritmo natural de a, es decir, f'(x) = ax ln a. Matemáticamente, la derivada de la función exponencial se escribe como d(ax)/dx = (ax)’ = ax ln a. La derivada de la función exponencial puede derivarse utilizando el primer principio de diferenciación mediante las fórmulas de límites. La gráfica de la derivada de la función exponencial cambia de dirección cuando a > 1 y cuando a < 1.
Derivada de la función exponencial ex
Ahora que sabemos que la derivada de la función exponencial viene dada por f'(x) = ax ln a, la derivada de la función exponencial ex utilizando la misma fórmula viene dada por ex ln e = ex (porque ln e = 1). Por tanto, la derivada de la función exponencial ex es la propia función, es decir, si f(x) = ex, entonces f'(x) = ex.
Fórmula de la derivada de la función exponencial
La fórmula de la derivada de la función exponencial viene dada por
f(x) = ax, f'(x) = ax ln a o d(ax)/dx = ax ln a
f(x) = ex, f'(x) = ex o d(ex)/dx = ex
Derivada de la función exponencial Ejemplo
- Halla la derivada de la función exponencial f(x) = 3x + 3×2
Solución: Utilizando la fórmula de la derivada de la función exponencial y otras fórmulas de diferenciación, la derivada de f(x) = 3x + 3×2 viene dada por,
f'(x) = 3x ln 3 + 6x
Respuesta: La derivada de 3x + 3×2 es 3x ln 3 + 6x
- Diferencia la función f(x) = ex/(1 + x) utilizando la derivada de la función exponencial.
Solución: Diferenciaremos f(x) = ex/(1 + x) por la regla del cociente. Sabemos que la derivada de ex es ex
f'(x) = [ex(1 + x) – ex]/(1 + x)2
= ex(1 + x – 1)/(1 + x)2
= xex/(1 + x)2
Respuesta: La derivada de f(x) = ex/(1 + x) es xex/(1 + x)2.
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